高三期中理数答案
参考答案与解析
一、选择题
1-5
DBBAB
6-10
CDCDC
11-12
AC
二、填空题
13.14.8
15.16.445π
三、解答题
17.解:(1)设数列的公差为d,则由题意知解得(舍去)或所以.(5分)
(2)
因为=,所以=++…+=.(10分)
18.解:(1)因为,且C是三角形的内角,所以sinC==.所以
=.(4分)
(2)
在△ABC中,由正弦定理,得,所以=,于是CD=.在△ADC中,AC=2,cosC=,(8分)
所以由余弦定理,得AD==,即中线AD的长为.(12分)
19.解:(1)抛物线E:y2=4x的准线l的方程为x=-1,由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离为d=2,又,所以.(4分)
(2)设C(),则圆C的方程为,即.由x=-1,得.设,则由,得,所以,解得,此时.所以圆心C的坐标为或,从而,即圆C的半径为.(12分)
20.解:(1)依题意,P(2,-1),所以=(-a-2,1)·(a-2,1)=5-a2,(2分)
由=1,a>0,得a=2,因为e=,所以c=,b2=a2-c2=1,(4分)
故椭圆C的方程为.(5分)
(2)
假设存在满足条件的点Q(t,0),当直线l与x轴垂直时,它与椭圆只有一个交点,不满足题意,因此直线l的斜率k存在,设l:y+1=k(x-2),由消y,得(1+4k2)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k=0,(7分)
△=-64k>0,所以k<0,设,则x1+x2=,x1x2=,因为
===,(10分)
所以要使对任意满足条件的k,为定值,则只有t=2,此时=1.故在x轴上存在点Q(2,0)使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.(12分)
21.解:(1)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0),又切线l过点(1,0),所以有-x0lnx0=(lnx0+1)(1-x0),即lnx0=x0-1,设h(x)=lnx-x+1,则,x∈(0,1),h(x)单调递增,x∈(1,),h(x)单调递减,h(x)max=h(1)=0有唯一解,所以x0=1,y0=0.所以直线l的方程为y=x-1.(4分)
(2)因为g(x)=xlnx-a(x-1),注意到g(1)=0,所以所求问题等价于函数g(x)=xlnx-a(x-1)在(1,e]上没有零点.因为.所以由lnx+1-a<00
①当ea-1≤1,即a≤1时,g(x)在(1,e]上单调递增,所以g(x)>g(1)=0.此时函数g(x)在(1,e]上没有零点,(7分)
②当1 综上,所求的a的取值范围是a≤1或a>.(12分) 22.解:(1)由a=2,e=,得c=,所以b=,故所求椭圆方程为.由已知有r=,圆C2的方程为C2:x2+y2=2.(4分) (2)设直线l1方程为y=k(x+2),由得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,所以xP+xD=,又xD=,所以==.直线l2的方程为即x+ky+2=0,所以 ==≤=,当且仅当,k=时取等号,因此△ABD的面积的最大值为.(12分)
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