初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料[大全5篇]

第一篇：初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料

习是一架保持平衡的天平，一边是付出，一边是收获，少付出少收获，多付出多收获，那么你们知道关于初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料大全，欢迎参阅。

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：

①只含有一个未知数;②未知数的次数是2;③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接

开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可

以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方

根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

(1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数;

⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式;⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

【21.2.2公式法】

(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值，注意符号;

③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac<0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.△>0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式

△<0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根

初中数学学习方法

1.突出一个“勤”字(克服一个“惰”字)

数学家华罗庚曾经说过：“聪明在于学习，天才在于勤奋”

我们在学习的时候要突出一个勤字，克服一个“懒”字，怎么突出“勤”字，怎么个勤法，答案是要做到五勤：“耳勤”“眼勤”(耳朵听，眼睛看，接受信息)“口勤”(讨论，回答问题,而不是讲话)“脑勤”(善于思考问题，积极思考问题——吸收、储存信息)那是不是做到以上四点就行了呢?不是。还有一个非常重要的是“手勤”(动手多实践，不仅光做题，还要尝试做模型，用到实践中去)

2.学好初中数学还有两个要点：

一要(动手)，二要(动脑)。

动脑就是要学会观察分析问题，学会思考，不要拿到题就做，找到已知和未知想象之间有什么联系，多问几个为什么。动手就是多实践，多做题，要“题至少不离脑”，“动脑又动手，才能最大地发挥大脑的效率”

3.做到“三个一遍”

大家听过“失败是成功之母”和“重复是学习之母”吗?

培根(18-19世纪英国的哲学家)——“知识就是力量”

“重复是学习之母”

如何重复，我给你们解释一下：

“上课要认真听一遍，动手推一遍，想一遍”

“下课看一遍”，“考试前再回忆一遍”

4.重视“四个依据”

读好一本教科书——它是教学、中考的主要依据;

记好一本笔记 ——它是教师多年经验的结晶;

做好做净一本习题集——它能使知识拓宽;

记好一本心得笔记，最好每人自己准备一本错题集，老师的经验旁证了错题集对突破数学瓶颈有奇效

二、分课前、课上、课后三个方面来谈一谈数学的学习。

1.课前做什么，预习。预习些什么内容呢?如何预习?第一，要看课本，看课本上的基本概念和基本例题，对这部分内容要做到理解。第二，在理解基本概念的基础上完成课后的随堂练习。预习的过程中有不懂的地方，要在书上做好记号，上课时就要着重听这部分内容;如果内容简单，自己能理解，那上课时就要听老师是如何讲解的，和自己对照一下，看看自己的理解是否正确，或者看看有没有其他的更简单的解题思路

2.课上做什么，认真听讲。听课是学习中最重要的环节，是准确的掌握所学知识的关键。那么上课该如何认真听讲，听什么。第一、带着在预习中未懂的问题听课，注意力集中，尽可能把疑点在课中解决。

第二，对于在预习中认为弄懂了的问题，主要听老师的讲解是否和自己的理解一致，纠正自己在预习中对一些知识的片面理解或错误理解。

第三，在预习中没有弄懂的问题，通过老师讲懂了或还有疑问，要在课堂上把关键的地方记下来，课后要及时进行向老师请教，弄懂、弄明白。

第四，在听课中注意不能只听问题的答案，关键是听老师讲解例题的解题思路，明白了解题思路，你是学会了做这一类题，而不是只是一道题。

例题是为巩固数学知识而讲，例题的作用是举一反三。有人做过这样一个实验：

一个老师带着一个初一班，他每周都测验他的学生，而且公开告诉他的学生，考题全部他上课讲的例题。学生开始一片哗然，90%的学生有信心拿满分，只有班上几个最差的学生不敢这么说，很快第一次测验结果出来了，及格率48%，满分率不到8%，第二次情况有所好转，初一时这个班数学成绩与同年级数学特长班平均分相差12.5分。初二时与数学班只差1.5分，比年级平均分高10分。初三毕业，这个班几乎与数学特长班没有区别。

第五，注意听老师在课堂中补充的例题，这些例题通常具有代表性，听老师的解题思路，拓宽自己的知识，要学会自己可以动手解决这一类问题。

3.课后该怎么做，完成练习和作业。要学好数学，必须多做练习，但并不是题海战术。只顾看书，而不做或少做练习，是不可能学好数学的。而一味的做题，而不顾解题方法，也是很难在学习上收到成效的。

做练习要在有充分的准备之后，认真独立地完成。所谓有充分准备，就是要先复习今天所学的知识和老师补充的例题，把课本上的知识弄懂之后才能做练习。如果课本知识还有不懂之处，应先复习课文，询问同学或老师，直至懂了之后再做练习。

所谓认真，是指对每个习题都要认真思考，对问题的每个细节都应思考清楚。注意养成一个全面细致地思考问题的习惯。这种良好习惯一旦养成，它会在你的一生中大有益处。另一方面，要认真演算，注意解答表述的条理性和解题格式的规范性。许多同学常常在考试中马虎出错，究其根源，必然形成马马虎虎的坏习惯。而“马虎”会长久地带来危害，这种坏习惯一旦养成，十分顽固，很难克服。

所谓独立完成作业，就是要靠自己的能力完成作业。因为做练习的目的，一是巩固所学知识，二是检查对知识的理解是否正确，培养和提高分析解决问题的能力。

要敢于啃难题。遇到难题一定要反复仔细推敲条件，深入思考，在山穷水尽、自己能力确实承受不了的情况下，问问别人是可以的，不要一觉得难，就不想做了。当然，做难题要耗费较长的时间。有些同学以为这样做不合算，不如问问省事，这种想法是不全面的。其实，帐得算两笔，比如你由于解难题耗费的时间较长联想过很多知识，设想了很多解法，都失败了，似乎收获是“零”，但事实上，你获得了大量的“副产品”，而这“副产品“的价值会远远大于本题目的价值。因为，由于解题的迫切需要联想了很多知识，恰好是对这许许多多知识积极的复习;你想出了很多方法，虽然没有能解决这个题目，但它是很好的思维训练，对提高思维能力起到了不可低估的作用，况且这一个个方法很可能在解决其他题目上奏效。大数学家希尔伯特把“费尔马大定理”这道难题叫做“能下金蛋的母鸡”。正是因为有很多数学家在攻克“费尔马大定理”的失败中，发现和开创了许多新的数学领域，大大地推进了数学的发展。

做过的题目希望大家一段时间(一周之类)要消化，对于这类题目的解题方法要掌握，争取做到举一反三，触类旁通，在练习当中，我认为“做”是次要的，而“思”是主要的。出错的地方也正是我们学习中最薄弱的地方，把这些地方弄懂弄通，避免在同一地方摔倒二次，这比把十道习题演算正确收效也许更大一些。

4.复习与总结。每学完一章，要及时做好阶段复习。阶段复习要围绕每一节知识的重点、难点，阅读教材、听课笔记、练习本，从中提炼出本章的知识重点和难点，特别对于曾不大懂和理解错误或不够深度的地方，要着重复习巩固。凡是在作业或测验中不会做或做错了的题目，在阶段复习中要独立做一遍，检查一下对这些题目自己是否已经掌握。有些同学多次在某一类问题上出现错误，或曾不会做的题目，再考时仍不会做，正是没有完成复习任务的结果。较难的知识与题日，不仅难做、难理解，而且很容易忘。反复复习的本身，则是与遗忘作斗争的有效方法。阶段总结是十分必要的，通过阶段复习，应该有较大的提高。华罗庚有句名言：“读书要由薄到厚，再由厚到薄”。阶段总结，正是要完成由厚到薄的过程。总结要提炼出每一章知识的重点、难点，每一小节知识的重点与本章知识重点的联系，做出条理性的归纳和概括，从而积累解题经验，提高分析解题的能力。

5.课外自学与研究。课外自学与研究的目的是扩大知识面，开阔眼界，掌握与积累思维方法和解题方法，进一步提高分析解题能力。围绕所学的教材进度看一些课外参考书及数学杂志，作一些较新鲜或难度较大的习题。课外自学应该是有计划地有节制地进行，不要影响以上环节的学习，更不要影响其它学科的学习。在课外自学的过程中，发现一些新颖而有价值的习题、一些好地思维方法与解题方法，应该记下来，以便进一步学习掌握。

爱因斯坦说过：“成功==艰苦的劳动+正确的方法+少说废话”。对于渴望成功的同学来说，艰苦的劳动与少说废话是比较容易做到的，而正确的方法却不是每个人都能摸索得出来的。……学习方法因人而异，望大家，“择其善者而从之，其不善者而改之”。务使你拥有一套适合自己的学习方法。

第二篇：初三数学一元二次方程

《一元二次方程的解》

知识回顾：

1、整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。

2、一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，我们称之为一元二次方程的一般形式。

探究新知：

认识了一元二次方程，接下来我们就要探求一元二次方程的解。

方程解的定义是怎样的呢？

能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。

问题1：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？

解：设邀请了x个队参加比赛，根据题意得：

1/2x（x-1）=28

即：x2-x=56

当x=8时，x2-x=56，所以，x=8是x2-x=56的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。思考：

你能否说出下列方程的解？

（1）x2-36=0（2）x2+36=0（3）（x-6）2=0

练习：

1、下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？

-4-3-2-1012342、你能写出方程x2-x=0的根吗？（即：平方后是它本身的数是哪些？）

例题讲解

例1：已知关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一根是0，则a的值为（）。

A、1B、-1C、1或-1D、0

例2：关于x的方程（m+2）2x2+3m2x+m2-4=0有一根为0，则2m2-4m+3的值为多少？

例3：已知m，n都是方程x2+2006x-2024=0的根，试求（m2+2006m-2024）（n2+2006n+2024）的值。

练习：

1、若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为_____。

2、若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为_____。

3、若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为_____。

4、根据下表的对应值，试判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一解的范围是（）

A、3＜x＜3.23B、3.23＜x＜3.24C、3.24＜x＜3.25D、3.25＜x＜3.26

小结：

1、认识了一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

2、会检验一个数是不是一个一元二次方程的根。

3、能根据一元二次方程的根的定义代入方程求出待定字母的取值。

第三篇：九年级数学上册教学计划《一元二次方程》

九年级数学上册教学计划《一元二次方程》

初三是初中三年的一个过渡年级，打好基础对于初中生来说是十分重要的，下文为大家推荐了九年级数学上册教学计划，希望对大家有用。

一、内容和内容解析

（一）内容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式.（二）内容解析

一元二次方程是方程在一元一次方程基础上 “次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础.针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式.在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法;一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”(未知数的个数)、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果;a≠0的条件是确保满足 “二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机.二、目标和目标解析

（一）教学目标

1.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念;

2.了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式.（二）目标解析

1.通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程.学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性;2.将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念.学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件.三、教学问题诊断分析

一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现 “次”的提升.学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢?教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念.培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的.本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫.本课的教学难点是一元二次方程的概念.四、教学过程设计

（一）创设情境，引入新知

教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答：

问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗?

师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名.【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识.问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢?你能再想出一个例子吗?

师生活动:学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境.【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解.部分学生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去列方程，或者阅读课本上的实际问题.（二）拓宽情境，概括概念

给出课本问题

1、问题2的两个实际问题，设未知数，建立方程.问题1 如图21.1-1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?

问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛?

教师引导学生思考并回答以下几个问题：

全部比赛共有______场

若设应邀请

个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___ 场.由此，我们可以列出方程______________，化简得________________.问题3． 这些方程是几元几次方程?

师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模.将列得的方程化简整理，判断出方程的次数.【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解.让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点;二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习.问题4．这些方程是什么方程?

师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式.1.一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是

.其中

是二次项，a是二次项系数;

是一次项，b是一次项系数;c是常数项.?

【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升.（三）辨析应用，加深理解

问题5．请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程.师生活动:可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛的参与.追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程?是什么方程?

【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，如下：

开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果.问题6． 下列方程哪些是一元二次方程?

例1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)

;(2);(3)

;(4)

;(5)

;(6)

.答案(2)(5)(6).师生活动:用概念指导辨析，方程(3)与(4)同学们可能会产生争议，(3)帮助学生明确一元二次方程是整式方程，(4)体会化为一般形式的必要性，对a≠0条件加深认识.【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗?帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识.问题7．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数.例2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：

(1)

;(2)师生活动:(1)将方程

去括号得：，移项，合并同类项得：，其中二次项是，二次项系数是3;一次项是，一次项系数是，常数项是

.教师应及时分析可能出现的问题(比如系数的符号问题).(2)一元二次方程的一般形式是，过程略.例3.关于x的方程，在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程? 答案：

时此方程为一元二次方程;，时此方程为一元一次方程.【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆.（四）巩固概念，学以致用

教科书第4页： 练习

【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况.（五）归纳小结，反思提高

请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其它方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误.（六）布置作业：教科书习题21.1

复习巩固：第1，2，3题.五、目标检测设计

1.下列方程哪些是关于x的一元二次方程

(1)

;(2)

;(3)

;(4)

.【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解.2.关于 的方程

是一元二次方程，则().A.B.C.D.【设计意图】考查

的条件.3.将关于的一元二次方程

化为一般形式，并指出二次项系数.【设计意图】考查化简方程的能力，及对一元二次方程一般式的掌握情况.以上就是查字典数学网为大家推荐的九年级数学上册教学计划，更多参考内容请及时关注本网站。

第四篇：一元二次方程知识点的总结

一元二次方程知识点的总结

知识点归类

建立一元二次方程模型

知识点一一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？ 2223；⑴2⑵x6x0；（3xx5；（4）x0；（5）2x(x3)2x21 x5

知识点二 一元二次方程的一般形式

2一元二次方程的一般形式为axbxc0（a，b，c是已知数，a0）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

2（3）形如axbxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次

方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）5x27x；（2）x2x38；（3）3x4x3x22 2

2例2 已知关于x的方程m1xm

知识点三一元二次方程的解 2m1x20是一元二次方程时，则m

x23x20使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x2时，所以x2是x3x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点一因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例用因式分解法解下列方程：

（1）5x22224x；（2）(2x3)250；（3）x6x952x。2

知识点二直接开平方法解一元二次方程

若xaa0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程2的方法叫做直接开平方法。

（1）xaa0的解是xa；（2）xmnn0的解是22

xnm；（3）mxncm0,且c0的解是x2cn。m

2例用直接开平方法解下列一元二次方程（1）9x160；（2）x5160；（3）x53x1 222

知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如axbk0k0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方2

法解。

例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）4x5360；（2）12x30 22

知识点四用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

t2t0，将原方程变形为t0.01如：0.01t20，由此可得出2

t0或0.0t20，即t10,t2200

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五形如“x2abxb0a,b为常数”的方程的解法。

对于形如“xabxb0a,b为常数”的方程（或通过整理符合其形2

式的），可将左边分解因式，方程变形为xaxb0，则xa0或xb0，即x1a,x2b。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“x2abxb0a,b为常数”型方程的特征。

2例 解下列方程：（1）x5x60；（2）xx120 2

配方法

知识点一配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含

未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2pxq0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例用配方法解下列方程：

22（1）x6x50；（2）x7x20 2

知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2）把原方程变为xmn的形式。2

（3）若n0，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。

例 解下列方程：x4x30

知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为xmn的形式； 22

（3）若n0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例用配方法解下列方程：

（1）3x9x20；（2）x4x30

公式法

知识点一一元二次方程的求根公式 22

bb24ac一元二次方程axbxc0a0的求根公式是：x 2a2

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为axbxc0a0的形式，2

确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b4ac的值；（3）若b4ac0，则a,b.把及22

bb24acb4ac的值代人求根公式x，求出x1,x2。2a2

例用公式法解下列方程

（1）2x3x10；（2）2xx2210；（3）x2x250 

知识点二选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知

数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x392x3；（2）x8x60；（3）x2(x1)0 222

知识点三一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2bxc0a0根的判别式 △=b4ac 2

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1）△=b4ac﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2）△=b4ac=0方程有两个相等的实数根；

（3）△=b4ac﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b4ac的值；④根据b4ac的符号判定方程根的情况。例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）2x3x50；（2）9x

知识点四根的判别式的逆用

在方程axbxc0a0中，222230x25；（3）x6x100 22222

（1）方程有两个不相等的实数根b4ac﹥0 2

（2）方程有两个相等的实数根b4ac=0 2

（3）方程没有实数根b4ac﹤0 2

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例m为何值时，方程2m1x4mx2m30的根满足下列情况： 2

（1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 知识点五一元二次方程的根与系数的关系

2若x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两个根，则有x1x2bb，x1x2aa

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：

（1）x1x2x1x22x1x2（2）222xx211 1

x1x2x1x2

（3）(x1a)(x2a)x1x2ax1x2a2；

（4）│x1x2│=

2x1x22=x1x224x1x2 例已知方程2x5x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。

（1）x1x2；（2）x1x2。222

知识点六根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

2例当x取什么值时，代数式xx60与代数式3x2的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。

知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a1x，两次增长后的值为a1x；（2）若基数为a，降低率x为，则2

一次降低后的值为a1x，两次降低后的值为a1x。2

例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x，列出关于x的方程为

知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；

（3）销售额=售价×销售量

例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

第五篇：2024中考数学一元二次方程

2024中考数学 一元二次方程

一、选择题

1．(2024·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()

A.x＝0B.x＝1

C.x＝0或x＝1D.x＝0或x＝－1

2．(2024·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()

A．(x＋1)2＝6B．(x＋2)2＝9

C．(x－1)2＝6D．(x－2)2＝9

3．(2024·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

4．(2024·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A()

A．－1B．0C．1D．2

5．(2024·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()

A．0B．8C．4±2 2D．0或8

二、填空题

6．(2024·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．

7．(2024·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为 ____________.8．(2024·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．

229．(2024·黄石)解方程：|x－y－4|＋(3 5x－5y－10)2＝0的解是__________________．

210．(2024·兰州)关于x的方程a(x＋m)＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常

数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．

三、解答题

11．(2024·南京)解方程：x2－4x＋1＝0.12．(2024·聊城)解方程：x(x－2)＋x－2＝0.x－2y＝0，13．(2024·广东)解方程组：2 2x＋3y－3y＝4.

a14．(2024·苏州)已知|a－1|＋b＋2＝0，求方程＋bx＝1的解． x

15．(2024·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．

错误！未找到引用源。

四、选做题

16．(2024·孝感)已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1、x2.(1)求k的取值范围；

(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．